Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

Breve storia della trigonometria

Le funzioni circolari. Fino alla metà del Seicento i seni (o i coseni, le tangenti, ecc.) erano numeri dati da tavole, elenchi che per ogni valore dell'angolo davano il valore del seno, o più tardi il suo logaritmo. Intorno al 1650 comincia ad emergere un punto di vista diverso: quello funzionale, o meglio, dato che il concetto di funzione non era ancora ben definito, quello geometrico. Vengono così studiate la curva dei seni, e insieme ad essa quella dei coseni, delle tangenti e le altre. In questo modo, la curva di equazione $y=\mathop{\rm sen}\nolimits \, x$ cominciava ad acquistare diritto di cittadinanza, alla pari o quanto meno accanto a quelle più note, come ad esempio la parabola (di equazione $y=x^{2}$), o l'iperbole ($xy=1$) o la circonferenza ($x^{2}+y^{2}=1$). In quanto curve, ci si poneva per esse gli stessi problemi che per le altre; trovarne la tangente in un punto, o l'area racchiusa, o il volume del solido ottenuto facendola girare attorno a un asse, e così via; problemi che non sempre si sapevano risolvere, ma che restavano a testimoniare l'imperfezione dei metodo finora adottati. L'invenzione del calcolo infinitesimale, da parte di G. W. LEIBNIZ (1646-1716) e I. NEWTON (1642-1727), conduce a soluzione molti dei problemi aperti; le funzioni trigonometriche vengono studiate da molti punti di vista, vengono introdotte le loro inverse, in primo luogo l'arcotangente, di cui si riconosce il legame con la quadratura del cerchio. Si scoprono infine inattese relazioni, specie quando nel Settecento vengono introdotti sistematicamente i numeri complessi. Le più importanti sono le cosiddette formule di Eulero: $$\mathop{\rm sen}\nolimits \, \vartheta = \frac{e^{i\vartheta}... ...\cos \, \vartheta = \frac{e^{i\vartheta}+e^{-i\vartheta}}{2}$$ che legano il seno e il coseno di un angolo $\vartheta$ con le potenze a esponente immaginario $i\vartheta$ e base il numero $e=2.718281745910645...$, base dei logaritmi naturali. Da queste si ricava facilmente la relazione $$\cos \, \vartheta +i\mathop{\rm sen}\nolimits \, \vartheta = e^{i\vartheta}$$ e quindi un numero complesso $z$, di modulo $\varrho$ e argomento $\vartheta$ si può scrivere nella forma $$z = \varrho e^{i\vartheta}.$$ Con l'accentuazione del carattere funzionale delle grandezze trigonometriche, ora tutte riunite sotto il nome di funzioni circolari, siamo praticamente entrati nella trigonometria moderna. Questa è caratterizzata da uno sdoppiamento; da una parte le funzioni trigonometriche costituiscono una parte dell'analisi, e vengono studiate in quanto tali, con poche o punte relazioni con i problemi da cui erano sorte, e dall'altra la trigonometria pratica, che continua ad essere, ora come nel passato più remoto, il bagaglio essenziale per la topografia, l'astronomia, la navigazione. Quest'ultima funzione sta ora attraversando un momento critico, poiché molte rilevazioni che ne richiedevano l'uso vengono ormai svolte in maniera automatica da apparati complessi. La latitudine di una nave non si calcola più misurando l'altezza della stella polare, ma tramite segnali radio emessi e ricevuti da satelliti; la topografia non richiede il lento lavoro geodetico, ma si compie per mezzo dell'aerofotogrammetria e delle telerilevazioni, i cui dati vengono poi elaborati da calcolatori. In corrispondenza, il ruolo della trigonometria è diventato più nascosto; non è sparito, ma si è trasferito dalle operazioni quotidiane alla progettazione delle macchine che ne hanno preso il posto.

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