La Restaurazione e l'emigrazione politica
I tentativi insurrezionali dal 1820-21 fino al 1848 e la disgregazione degli eserciti napoleonici causarono l'emigrazione di un importante gruppo di scienziati come Ottaviano Fabrizio Mossotti, Guglielmo Libri, Francesco Orioli, Macedonio Melloni, Carlo Matteucci, Faustino Malaguti, Agostino Codazzi.
Da Milano, dove aveva collaborato al Conciliatore (1818-1819), Mossotti riparò prima a Ginevra (1825), poi a Londra e a Buenos Aires (1827). In Argentina creò i primi osservatori meteorologici e astronomici. Ritornato in Italia fu nominato professore nell'Università Ionia di Corfù (1839) per approdare poi nel 1841 all'Università di Pisa.
Guglielmo Libri, i cui genitori Giorgio e Rosa avevano aderito con entusiasmo in Toscana ai principi della rivoluzione, dopo un brillante debutto nell'Università di Pisa e i moti del 1831, trovò asilo in Francia dove incontrò Mazzini e entrò in contatto con gli ambienti liberali.
Accolti nelle Università straniere molti scienziati italiani stabilirono contatti scientifici con gli ambienti più vivi della cultura europea e poterono disegnare dopo l'Unità d'Italia un programma di rinnovamento scientifico di grande attualità. Essi ebbero relazioni anche con gli altri esuli politici (Mazzini, Gioberti, Garibaldi). Quest'ultimo, capitano di marina, si guadagnò da vivere per un certo tempo in America Latina facendo il professore di matematica!
La matematica mantenne anche negli anni della Restaurazione con ruolo importante nella cultura e nella società per opera innanzitutto di Gian Domenico Romagnosi e di Melchiorre Gioia, che era stato allievo di Gregorio Fontana. Con il loro richiamo alle indagini statistiche, essi furono il punto di riferimento fino agli anni trenta per giuristi, economisti, studiosi preoccupati del bene comune. La matematica ebbe anche una funzione importante nella formazione di pensatori come Antonio Rosmini, Pasquale Galluppi e Bertrando Spaventa, e di protagonisti del nostro Risorgimento come Cavour, Marco Minghetti e Alfredo Baccarini.
I governi restaurati non poterono non tenere conto del progresso e dell'evoluzione della società, dell'economia, dei rapporti giuridici. Da una parte continuarono le pubblicazioni delle Memorie di matematica e fisica e delle Memorie dell'Istituto, dall'altra sorsero nuovi giornali come la Biblioteca Italiana (Milano, 1816) il Conciliatore (Milano, 1818), il Giornale Arcadico (Roma, 1819), gli Annali Universali di Statistica, fondati a Milano da Francesco Lampato nel 1824, l'Antologia pubblicata a Firenze da Gian Pietro Viesseux dal 1821. Benché attentamente sorvegliati dalle polizie (e sovente anche infiltrati) questi periodici fornirono agli studiosi, del resto quasi sempre appartenenti ad ambienti moderati, l'occasione per far conoscere le loro idee e per non perdere completamente il contatto con gli altri paesi europei.