Curvatura e dintorni

Come tra tutte le rette che passano per un punto P di una curva, la tangente è quella che approssima meglio la curva, così tra tutti i cerchi che passano per P ce n'è uno che si adatta meglio all'andamento della curva nelle vicinanze di P. Questo cerchio, il cui centro si trova sulla retta perpendicolare alla curva (o, il che è lo stesso, perpendicolare alla sua tangente), prende il nome di cerchio osculatore.

Possiamo così misurare la curvatura di una curva. La retta tangente permette di determinare la direzione di una curva C: se si immagina un punto che si muove lungo C, si può pensare che ad ogni istante il movimento avvenga nella direzione della tangente. Analogamente la curvatura di C sarà data da quella del cerchio osculatore; e siccome un cerchio è tanto più curvo quanto minore è il suo raggio, si può misurare la curvatura di C per mezzo dell'inverso del raggio del cerchio osculatore, o raggio di curvatura.

Al variare del punto P sulla curva, i centri di curvatura (centri dei cerchi osculatori) descrivono una seconda curva, che si chiama evoluta della prima. Questa curva è anche l'inviluppo delle rette perpendicolari alla curva data.

Reciprocamente, la prima curva è l'evolvente della seconda. L'evolvente di una curva si può ottenere materialmente attaccando un filo al profilo della curva, e poi svolgendolo pian piano, con l'accortezza di tenere sempre tesa la parte staccata. L'estremità libera del filo descriverà allora l'evolvente. In questo modo è possibile disegnare l'evolvente del cerchio.