Il pendolo cicloidale

La cicloide entra anche in un secondo problema, stavolta di natura più tecnica. Sempre Galileo aveva osservato come le oscillazioni di un pendolo avvengano approssimativamente nello stesso tempo, e ciò indipendentemente dall'ampiezza delle oscillazioni. A partire da questa osservazione di Galileo presero origine i primi orologi a pendolo.

In realtà le oscillazioni del pendolo non sono esattamente isocrone: il tempo che occorre per compiere un'oscillazione completa dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, ed è tanto maggiore quanto più ampia è l'oscillazione. Solo per oscillazioni molto piccole il tempo si può considerare essenzialmente costante, e sono queste oscillazioni piccole che si sfruttano per gli orologi a pendolo.

Ci si può chiedere allora: come deve essere fatto un pendolo perché le oscillazioni richiedano tutte esattamente lo stesso tempo, o in una parola (anche questa derivata dal greco: tautos, lo stesso, e chronos, tempo) siano rigorosamente isocrone?

Vediamo le cose da un punto di vista leggermente diverso. In un pendolo normale il peso oscilla liberamente attaccato a un punto, e quindi lungo una circonferenza. Le sue oscillazioni sono isocrone solo approssimativamente, e richiedono tanto più tempo quanto è più grande l'arco di circonferenza descritto. In questo contesto la domanda diventa: lungo che tipo di curva bisogna fare oscillare un corpo in modo che le oscillazioni siano perfettamente isocrone?

La risposta è ancora una volta: la cicloide. Se mettiamo due palline in due punti sulla cicloide, e le lasciamo cadere contemporaneamente, esse si urteranno esattamente nel punto più basso, anche se sono partite una molto vicina e l'altra molto lontana da questo punto. In altre parole, la pallina impiega lo stesso tempo a percorrere l'arco grande e quello piccolo, segno che le oscillazioni sono isocrone. Nella circonferenza ciò non avviene: la pallina che cade da più vicino arriva prima.

Se vogliamo allora costruire un orologio a pendolo esattamente isocrono, occorre che il peso oscilli lungo una cicloide. Ma come è possibile obbligare il peso a muoversi lungo questa curva senza farlo strisciare, cioè senza usare un profilo cicloidale? La situazione è analoga a quella della prima stanza, quando volevamo disegnare una retta senza usare un profilo. Lì avevamo usato un meccanismo abbastanza complesso, il meccanismo di Peaucellier. Qui ci serviremo di un altro trucco: invece di lasciare il peso libero di oscillare (in questo caso descriverebbe una circonferenza) ne condizioneremo la traiettoria facendo adagiare il filo su due profili.

In termini matematici, occorrerà sagomare questi profili in modo che la loro evolvente sia un a cicloide. E qui abbiamo una sorpresa: l'evolvente di una cicloide è una seconda cicloide uguale alla prima; di conseguenza i profili devono essere degli archi di cicloide. In questo caso (e solo in questo caso) il pendolo oscillerà su una cicloide, e quindi sarà isocrono.

Abbiamo messo a confronto due pendoli: uno libero, che si muove su una circonferenza, e uno cicloidale, ottenuto con i profili in alto. Due fotocellule misurano i periodi, che vengono visualizzati sui computer. Come si vede, mentre il periodo del pendolo ordinario diminuisce con l'ampiezza delle oscillazioni, quello del pendolo cicloidale è rigorosamente costante.